* Un QCM dans un sujet de concours

En préparant un concours, Nolan a fait l'impasse sur un chapitre qui fait l'objet d'un QCM et, lors de l'épreuve, il fait un choix risqué : répondre totalement au hasard au QCM sur ce chapitre.

On considère, ainsi, chaque réponse de Nolan totalement indépendante des autres. Le QCM est composé de \(4\) questions différentes. Pour chaque question, une unique réponse sur les quatre propositions est correcte. On considère la variable aléatoire \(X\) qui compte le nombre de réponses justes.

1. Décrire la loi de probabilité suivie par la variable aléatoire \(X\). 
À l'aide de la calculatrice, on obtient :
\(\dbinom{4}{0}=1 \quad \dbinom{4}{1}=4 \quad \dbinom{4}{2}=6 \quad \dbinom{4}{3}=4 \quad \dbinom{4}{4}=1\)
2. Calculer les probabilités :
    a. que Nolan n'ait aucune bonne réponse.
    b. qu'il ait une unique bonne réponse.
3. Interpréter, dans le contexte de l'exercice, l'événement \(\{X \leqslant 1\}\). Déduire de la question 2. la probabilité de cet événement.
4. Calculer l'espérance de \(X\) et en donner une interprétation dans le contexte de l'exercice.
5. Le règlement de l'examen précise que, dans le QCM, \(1\) point est donné par réponse correcte, \(0{,}5\) point est soustrait par réponse incorrecte, aucun point n'est donné en cas de non-réponse. Nolan a-t-il raison de tenter des réponses au hasard ?